A teljes indukció olyan bizonyítási módszer, amely különösen hasznos az oszthatósággal kapcsolatos állítások igazolására. A módszer segítségével nemcsak egyes számokra, hanem végtelen sok, természetes számmal megadott esetre is bizonyítható egy állítás.
A Nemzeti Alaptanterv szerint a sejtés és a bizonyított állítás tudatos megkülönböztetése, a tétel igazságának eldöntése, valamint a bizonyítások - köztük az indukciók és a teljes indukció - a 9-12. évfolyam fejlesztési feladatai közé tartoznak.
Az oszthatóság és a teljes indukció kapcsolata
Az oszthatóság témaköre a matematika tantárgy, így a matematika műveltségterület részét képezi.
A témakör az általános iskola 3. évfolyamán kerül először igazán a matematika tananyagba. Ekkor az osztó és többszörös fogalma kerül bevezetésre.
Majd ezt követően 6 évfolyamon a közös osztó fogalmával, illetve egyszerűbb oszthatósági szabályokkal bővül a témakör.
Ezeket a 7. évfolyam tovább bővíti: újabb oszthatósági szabályok, valamint a prímszám fogalma jelenik meg.
Végül a középiskola 9 évfolyamán kerül elő utoljára a témakör, tovább bővítve és mélyítve az eddig megszerzett ismereteket.
Az oszthatósági feladatok megoldásában a bizonyítási módszerek fontos szerepet töltenek be. Az emelt szintű érettségin előkerülő tartalmak, például a bizonyítási módszerek, a versenyfeladatok megoldásában is fontosak.
Mit jelent az, hogy egy szám osztható 13-mal?
Egy egész szám pontosan akkor osztható 13-mal, ha van olyan egész szám, amellyel megszorozva 13-at az eredeti számot kapjuk.
Másképpen fogalmazva: ha egy szám 13-mal való osztásakor a maradék nulla, akkor a szám osztható 13-mal.
Ha egy kifejezésről azt szeretnénk bizonyítani, hogy osztható 13-mal, akkor elegendő megmutatni, hogy a kifejezés felírható a 13 valamely egész számmal való szorzataként.
A teljes indukció három lépése
A teljes indukcióval végzett bizonyítás általában három részből áll.
- Indukciós kezdőlépés: ellenőrizzük az állítást a legkisebb megengedett természetes számra.
- Indukciós feltevés: feltételezzük, hogy az állítás igaz egy tetszőleges, de rögzített természetes számra.
- Indukciós lépés: az indukciós feltevés segítségével bebizonyítjuk, hogy az állítás a következő természetes számra is igaz.
Ha mindhárom lépés teljesül, akkor az állítás minden megengedett természetes számra igaz.
Általános megoldási minta 13-mal való oszthatóságra
Legyen az állítás például a következő:
Azt kell bizonyítani, hogy az \(A_n\) kifejezés minden természetes \(n\)-re osztható 13-mal.
1. Indukciós kezdőlépés
Először kiszámítjuk az \(A_1\) értékét, majd megvizsgáljuk, hogy osztható-e 13-mal.
Ha \(A_1=13k\), ahol \(k\) egész szám, akkor az állítás igaz \(n=1\) esetén.
2. Indukciós feltevés
Feltételezzük, hogy az állítás igaz egy tetszőleges \(k\) természetes számra, vagyis
\(A_k=13m\)
valamilyen egész \(m\) számra.
3. Indukciós lépés
Meg kell mutatnunk, hogy \(A_{k+1}\) is osztható 13-mal.
Ehhez az \(A_{k+1}\) kifejezést úgy alakítjuk át, hogy megjelenjen benne az \(A_k\) kifejezés:
\(A_{k+1}=A_k+13q\)
Az indukciós feltevés alapján \(A_k=13m\), ezért
\(A_{k+1}=13m+13q=13(m+q)\).
Mivel \(m+q\) egész szám, ezért \(A_{k+1}\) osztható 13-mal.
Így az állítás a teljes indukció elve alapján minden természetes \(n\)-re igaz.
Részletes példa
Feladat: Bizonyítsuk teljes indukcióval, hogy minden természetes \(n\)-re a \(7^{n+1}+6^n\) szám osztható 13-mal.
Indukciós kezdőlépés
Vizsgáljuk meg az állítást \(n=1\) esetén:
\(7^{1+1}+6^1=7^2+6=49+6=55.\)
A 55 nem osztható 13-mal, ezért ez a kezdőérték nem megfelelő ehhez az állításhoz.
Ebben az esetben célszerű ellenőrizni, hogy az állításban szereplő kitevők, illetve a kezdőérték helyesen lettek-e megadva. A teljes indukció alkalmazása előtt minden esetben meg kell vizsgálni a kezdő esetet.
Helyes kezdőérték megválasztása
Ha egy állítás csak \(n=2\)-től igaz, akkor az indukciós kezdőlépést \(n=2\)-nél kell elvégezni.
Ha például egy kifejezés \(n=0\) esetén is értelmezett, akkor a bizonyítás kezdődhet \(n=0\)-val. Ha azonban az állítás \(n=1\)-től szerepel, akkor az első vizsgálandó eset \(n=1\).
Az indukciós kezdőlépés nem hagyható el, mert az indukciós feltevés önmagában nem bizonyítja az állítás első esetét.
Oszthatóság 13-mal maradékosztályok segítségével
A 13-mal való oszthatóság vizsgálatakor gyakran használható az, hogy egy számot vagy kifejezést 13-mal kongruens alakban írunk fel.
Ha két szám 13-mal osztva ugyanazt a maradékot adja, akkor a két szám különbsége osztható 13-mal.
Az indukciós lépés során gyakran olyan összefüggést keresünk, amelyben az új tag az előző tag többszöröse, illetve az előző taghoz egy 13-mal osztható kifejezés adódik hozzá.
Az ilyen átalakítás célja mindig az, hogy az indukciós feltevés közvetlenül felhasználható legyen.
Tipikus algebrai átalakítás
Ha az indukciós feltevés szerint \(A_k\) osztható 13-mal, és az indukciós lépésben sikerül felírni, hogy
\(A_{k+1}=rA_k+13s,\)
ahol \(r\) és \(s\) egész számok, akkor \(A_{k+1}\) is osztható 13-mal.
Valóban, az indukciós feltevés alapján \(A_k=13t\), ezért
\(A_{k+1}=r\cdot13t+13s=13(rt+s).\)
Ez a kifejezés 13 többszöröse.
Miért fontos a bizonyítási gondolatmenet?
A teljes indukció nem egyszerűen néhány konkrét eset ellenőrzését jelenti.
Az első néhány érték kiszámítása csak sejtést adhat az állítás helyességéről. A sejtés és a bizonyított állítás tudatos megkülönböztetése, tétel igazságának eldöntése, bizonyítások - indukciók, teljes indukció, dedukció, indirekt bizonyítás - a középiskolai matematikai gondolkodás fontos része.
Végtelen sok esetet nem lehet egyenként ellenőrizni. A teljes indukció ehelyett azt mutatja meg, hogy ha egy adott esetben igaz az állítás, akkor az igazsága szükségszerűen továbböröklődik a következő esetre.
Az indukciós lépés tehát nem azt jelenti, hogy néhány további példát kiszámolunk, hanem azt, hogy általánosan bizonyítjuk az \(n=k\) esetből az \(n=k+1\) esetre való átmenetet.
Gyakori hibák oszthatósági indukciós feladatokban
- Az indukciós kezdőlépés ellenőrzésének kihagyása.
- Nem a megfelelő kezdőérték használata.
- Az indukciós feltevés pontatlan megfogalmazása.
- Az \(n=k\) és az \(n=k+1\) eset összekeverése.
- Annak állítása, hogy néhány ellenőrzött példa bizonyítja az általános állítást.
- Az indukciós feltevés felhasználása nélkül végzett algebrai átalakítás.
- Annak kimondása, hogy egy kifejezés osztható 13-mal anélkül, hogy megmutatnánk a 13-as tényezőt.
- A kitevők vagy az indexek hibás kezelése.
Rövid ellenőrzőlista
- Mi a legkisebb megengedett \(n\) érték?
- Igaz-e az állítás ennél a kezdőértéknél?
- Pontosan megfogalmaztam-e az indukciós feltevést?
- Fel tudom-e írni az új kifejezést az előző kifejezés segítségével?
- Megjelenik-e az átalakítás után a 13-as tényező?
- Leírtam-e világosan, hogy az indukciós lépés minden természetes \(k\)-ra érvényes?
- Kimondtam-e a teljes indukciós következtetést?
Az indukciós bizonyítás ajánlott szerkezete
Egy rendezett megoldás az alábbi felépítést követheti:
Indukciós kezdőlépés: ellenőrizzük az állítást a legkisebb megengedett értékre.
Indukciós feltevés: tegyük fel, hogy az állítás igaz \(n=k\)-ra.
Indukciós lépés: bizonyítsuk, hogy az állítás \(n=k+1\)-re is igaz.
Következtetés: a teljes indukció elve alapján az állítás minden megengedett természetes \(n\)-re igaz.
A kidolgozás megalkotása, az eltervezett megoldás lépéseinek végrehajtása; a részeredmények értelmezése a problémamegoldás fontos része.
Az oszthatósági feladatoknál különösen hasznos a többféle megoldási mód keresése, az alternatív megoldások összevetése.
01. 18., 1. videó. Teljes indukciós bizonyítás oszthatósági feladatokra
Kapcsolódó matematikai gondolkodási készségek
Az oszthatóság és a teljes indukció tanulmányozása többféle matematikai készséget fejleszt.
- állítások igazságértékének megítélése;
- elmondott gondolatmenet követése;
- általánosítás és specializálás;
- példák és ellenpéldák keresése;
- többféle megoldási mód keresése;
- az alternatív megoldások összevetése;
- saját gondolatok kifejezése és rögzítése;
- a matematikai témakörök összekapcsolódásának értése.
Az oszthatóság témakörére épített szakkör megtervezése is sokban segítheti a tanulókat.
A választott témák olyan ötleteket, gondolatokat, módszereket mutatnak be, amelyek igen jól alkalmazhatóak mind az emelt szintű érettségi, mind pedig a versenyfeladatok megoldásában.
Az említett hipotézisek igaz voltát, valamint a tantervekben előírt tartalmak tényleges megjelenését egy tanári kérdőív segítségével vizsgálom.
A szakköri órák témáit és a hozzájuk kapcsolt feladatokat önállóan válogattam.
A feladatok részletes megoldását magam készítettem el, minden szakköri alkalomhoz csatoltam olyan feladatot is, melyet önállóan gyártottam.