Bizonyítási technikák: a teljes indukció és más középiskolai módszerek

Matematikában az axiómákon kívül minden állítást bizonyítunk. De ennek többféle módja van.

Négyféle bizonyítási módszert használunk középiskolában: a direkt bizonyítást, az indirekt bizonyítást, a teljes indukciót és a skatulya-elvet.

A matematikai bizonyítás négy alapvető módszere

1. Direkt bizonyítás
2. Indirekt bizonyítás
3. Teljes indukció
4. Skatulya-elv

Direkt bizonyítás

Ebben az esetben már korábbi bizonyított állításokból, illetve axiómaként elfogadott alapállításokból kiindulva, helyes logikai következtetések alapján bizonyítjuk az állítást.

Legyen adott az ABC háromszög. Tükrözzük ezt a háromszöget a BC szakasz F felező pontjára. Ekkor B’=C és C’=A. Az AB szakasz képe a C’A’, az AC szakasz képe B’A’. Tehát az ABA’C négyszög olyan paralelogramma, amelynek egyik oldala a háromszög AB oldala és paralelogramma magassága megegyezik a háromszög magasságával.

Thálesz-tételét fogjuk így bizonyítani a videón. A bizonyításhoz a körben kialakuló egyenlőszárú háromszögeket kell felhasználni.

Indirekt bizonyítás

Az indirekt bizonyítás olyan eljárás, melynek során feltesszük, hogy a bizonyítandó állítás nem igaz, és ebből kiindulva helyes következtetésekkel lehetetlen következményekhez jutunk el.

Az indirekt módszer két logikai törvényen alapul: minden kijelentés igaz vagy hamis, és egy igaz állítás tagadása hamis, és fordítva, hamis kijelentés tagadása igaz.

Indirekt bizonyítási módot akkor érdemes választani, ha az állítás tagadása könnyebben kezelhető, mint maga az állítás.

A precíz definíció így szól: Indirekt bizonyításnak nevezzük azt az eljárást, amikor feltételezzük a bizonyítandó állítás tagadását, majd helyes logikai lépések során ellentmondásra jutunk.

A Pitagorasz-tétel megfordításának bizonyítása

A Pitagorasz-tétel megfordítása: ha egy háromszögben két oldalhossz négyzetének összege egyenlő a harmadik oldal négyzetével, akkor a háromszög derékszögű.

A Pitagorasz tételből tudjuk, hogy a²+b²=c².

Indirekten tegyük fel, hogy ez a háromszög nem derékszögű.

Rajzolunk egy általános háromszöget, aminek az oldalai a, b és c.

Ezután rajzolunk egy derékszögű háromszöget a, b befogókkal, ez lesz az AB’C háromszög.

A folytatásban belátjuk, hogy a két háromszögnek egybevágónak kell lenni.

Evvel viszont ellentmondásra jutunk, hiszen az indirekt feltevésben azt mondtuk, hogy a háromszög nem derékszögű.

A legnagyobb prímszám kérdése

Tételezzük fel az ellenkezőjét, azaz tételezzük fel, hogy van legnagyobb prímszám, azaz a prímszámok száma véges.

Van tehát az általunk gondolt összes (k db) prímszámon kívül más prímszám is.

A √2 irracionalitása

Egy klasszikus, ide tartozó bizonyítás, hogy a gyök kettő irracionális szám.

Teljes indukció

A teljes indukció olyan állítások bizonyítására alkalmas, melyek n pozitív egész számtól függenek.

Ezen a módon olyan állítást bizonyíthatunk, amely az n pozitív egész számoktól függ.

Ilyenek például a számtani és mértani sorozat n-edik elemének meghatározására vonatkozó vagy az első n egész szám négyzetösszegére vonatkozó összefüggések.

A teljes indukciós eljárás során először bebizonyítjuk az állítást n = 1-re, vagy valamilyen konkrét értékre.

Ezután feltételezzük, hogy az állítás igaz n = k-ra, ez az úgynevezett indukciós feltevés.

3. lépésben az indukciós feltevés felhasználásával bebizonyítjuk, hogy az állítás igaz n = (k + 1)-re.

A teljes indukció lépései

1. Megvizsgálom, hogy n=1-re teljesül-e az állítás.
2. Felírjuk az indukciós feltételt, azaz, hogy n=k-ra teljesül az állítás.
3. Be kell látni, hogy n=k+1-re is teljesül az állítás.

Feltételezzük, hogy n az az utolsó olyan pozitív egész szám, amire az állítás még igaz.

Ezt a feltételezést felhasználva bizonyítjuk, hogy a rákövetkező értékre, azaz n+1-re is igaz marad az állítás.

A harmadik lépésben az indukciós feltevés felhasználásával kell bizonyítani az állítást a következő értékre.

Miért szükséges mindkét indukciós lépés?

A kezdőlépés megmutatja, hogy az állítás legalább egy konkrét pozitív egész számra igaz.

Az indukciós lépés azt mutatja meg, hogy ha az állítás egy k értékre igaz, akkor a következő értékre, vagyis k+1-re is igaz.

A két lépés együtt biztosítja, hogy az állítás minden megfelelő pozitív egész számra teljesül.

A számtani sorozat első n tagjának összege

Azt a tételt fogom bizonyítani, hogy ha egy számtani sorozat első tagja a1, különbsége d, akkor a számtani sorozat első n tagjának összege így számolható, ahogy ide felírtam.

A bizonyítást három lépésben végezzük.

1. Az állítás ellenőrzése n=1-re

Megvizsgálom, hogy n=1-re teljesül-e az állítás.

Ez könnyen belátható, behelyettesítés és egyszerűsítés után megkapom, hogy az első egy tag összege a1.

2. Az indukciós feltevés

Felírjuk az indukciós feltételt, azaz, hogy n=k-ra teljesül az állítás.

3. Az állítás bizonyítása n=k+1-re

Be kell látni, hogy n=k+1-re is teljesül az állítás.

Ehhez behelyettesítettjük az eredeti képletbe n helyére k+1-et.

Célunk az, hogy felhasználhassuk az indukciós feltételt.

A négyzetszámok első n tagjának összege

A négyzetszámok sorozatát az a_n=n² formulával adhatjuk meg.

A sorozat tagjai: {1; 4; 9; 16;…;n²…}

A tétel egy zárt formulát ad a négyzetszámok sorozata első n tagjának összegének meghatározására, amit jelöljünk S_n-nel.

Állítás: S_n=1²+2²+3²+…+(n-1)²+n²=n(n+1)(2n+1)/6

Bizonyítás teljes indukcióval történik.

Az első lépésben n=1 esetén ellenőrizzük az állítást.

A második lépésben feltételezzük, hogy az összefüggés n=k-ra igaz.

A harmadik lépésben az indukciós feltevést felhasználva bizonyítjuk, hogy az összefüggés n=k+1-re is teljesül.

Sík tartományokra bontása egyenesekkel

A bizonyítást teljes indukcióval végezzük.

Az állítás szerint az egyenesek a síkot meghatározott számú tartományra bontják.

Az alaplépés

1-re igaz az állítás.

Egy egyenes valóban két tartományra bontja a síkot.

Az indukciós lépés

Az indukciós feltétel szerint n egyenes esetén a tartományok maximális száma már ismert.

Az első tag azt mutatja, hogy n egyenes esetén mennyi a tartományok maximális száma.

n egyenes van a síkon.

Az n-edik egyenes minden már meglévő egyenest, azaz n darabot, metsz.

Az n-edik egyenes egy-egy meglévő egyeneshez érve egy-egy eddigi tartományt két részre vág.

Az n-edikhez érve már n darab új tartomány keletkezett.

Ennek felhasználásával bizonyítható, hogy a következő egyenesre is teljesül az állítás.

Skatulya-elv

A skatulya-elv a négy középiskolai bizonyítási módszer egyike.

Azt a tételt bizonyítjuk be skatulyaelvvel, hogy ha p és q pozitív egész számok, akkor a p/q szám tizedes tört alakja vagy véges, vagy végtelen, de szakaszos tizedes tört.

Ha p-t elosztjuk q-val, akkor q féle osztási maradékot kaphatunk.

0-t, 1-t, 2-t és így tovább, egészen q-1-ig.

Ezek lesznek a skatulyák, és könnyen belátható, hogy emiatt legfeljebb a q-adik osztásnál már olyan maradékot kapunk, amely korábban már volt, azaz innen ismétlődni fognak a tizedes tört jegyei.

A négy módszer alkalmazási területei

Gyakorlati példák és feladatok

Gondoljuk csak meg, ha minden hónapra 3 szülinapos jutna, a 37. hónapban már biztosan lenne olyan hónap, amelyben 4-nél többen ünnepelnek.

Megjegyzés: Természetesen lehetnek olyan hónapok, amikor senki nem szülinapos, és olyan hónap is, amikor 4-nél többen ünnepelnek.

Bizonyítsa be, hogy egy „n” pontú egyszerű gráfban van két azonos fokszámú pont!

További bizonyítható állítások

A legismertebbek az un. közepek között fennálló egyenlőtlenségek:

Harmonikus közép≤Számtani közép≤Mértani (Geometriai) közép≤Négyzetes közép.

Formulával, két nem-negatív valós szám esetén: H(a;b)≤G(a;b)≤A(a;b)≤N(a;b), ahol a;b∈ℝ; a≥0; b≥0.

Ezeket az egyenlőtlenségeket értelmezhetjük nemcsak két, hanem több valós számra is.

A közöttük fennálló egyenlőtlenségek igazolását itt találhatjuk.

Tanulási szempontok a teljes indukcióhoz

• Először pontosan azonosítani kell, hogy az állítás milyen pozitív egész számtól függ.
• Ezután ellenőrizni kell az állítást a kezdőértékre.
• Fel kell írni az indukciós feltevést n=k esetén.
• Az indukciós feltevést fel kell használni a k+1 értékre vonatkozó bizonyításban.
• Az algebrai átalakítások célja az, hogy az ismert indukciós feltevés megjelenjen az új kifejezésben.

tags: #bizonyitasi #technikak #teljes #indukcio